epanrita.net– Sebelum membahas soal-soal vektor, perlu diketahui terlebih dahulu definisi dan konsep dasar vektor. Vektor adalah besaran yang memiliki arah dan besar yang dapat digambarkan dengan panah. Dalam matematika, vektor dinyatakan dengan koordinat dalam bentuk (x,y) atau (x,y,z) untuk tiga dimensi.
Hukum-Hukum Vektor
Sebelum mengerjakan soal vektor, perlu diketahui hukum-hukum vektor seperti penjumlahan vektor dan perkalian vektor.
1. Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen x dan y dari setiap vektor. Sebagai contoh, jika vektor A = (3, 4) dan vektor B = (2, 5), maka penjumlahan vektor A dan B adalah A + B = (3+2, 4+5) = (5, 9).
2. Perkalian Vektor
Perkalian vektor dapat dilakukan dengan cara dot product dan cross product. Dot product menghasilkan bilangan skalar, sedangkan cross product menghasilkan vektor.
Contoh Soal UN Vektor Matematika
Berikut adalah 20 contoh soal UN vektor matematika beserta pembahasannya.
Soal 1
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan hasil penjumlahan vektor A dan B.
Pembahasan
Penjumlahan vektor A dan B dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponen x dan y dari setiap vektor.
A + B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)
Jadi, hasil penjumlahan vektor A dan B adalah (6, 2).
Soal 2
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan hasil dot product vektor A dan B.
Pembahasan
Dot product vektor A dan B dapat dilakukan dengan mengalikan setiap komponen x dan y dari vektor A dengan komponen x dan y dari vektor B, lalu menjumlahkannya.
A . B = (2×4) + (3x(-1)) = 8 – 3 = 5
Jadi, hasil dot product vektor A dan B adalah 5.
Soal 3
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan hasil cross product vektor A dan B.
Pembahasan
Cross product vektor A dan B dapat dilakukan dengan mengalikan komponen x dan y dari vektor A dengan komponen y dan x dari vektor B, lalu dikurangi.
A x B = (2x(-1)) – (3×4) = -2 – 12 = -14
Jadi, hasil cross product vektor A dan B adalah -14.
Soal 4
Diketahui vektor A = (1, 2, -3) dan vektor B = (4, -1, 2). Tentukan hasil penjumlahan vektor A dan B.
Pembahasan
Penjumlahan vektor A dan B dilakukan dengan menjumlahkan komponen x, y, dan z dari setiap vektor.
A + B = (1+4, 2+(-1), -3+2) = (5, 1, -1)
Jadi, hasil penjumlahan vektor A dan B adalah (5, 1, -1).
Soal 5
Diketahui vektor A = (1, 2, -3) dan vektor B = (4, -1, 2). Tentukan hasil dot product vektor A dan B.
Pembahasan
Dot product vektor A dan B dilakukan dengan mengalikan setiap komponen x, y, dan z dari vektor A dengan komponen x, y, dan z dari vektor B, lalu menjumlahkannya.
A . B = (1×4) + (2x(-1)) + (-3×2) = 4 – 2 – 6 = -4
Jadi, hasil dot product vektor A dan B adalah -4.
Soal 6
Diketahui vektor A = (1, 2, -3) dan vektor B = (4, -1, 2). Tentukan hasil cross product vektor A dan B.
Pembahasan
Cross product vektor A dan B dilakukan dengan mengalikan komponen y dan z dari vektor A dengan komponen z dan y dari vektor B, lalu dikurangi. Kemudian, untuk komponen x hasil cross product, dilakukan dengan mengalikan komponen z dari vektor A dengan komponen y dari vektor B, dikurangi dengan komponen y dari vektor A dikalikan dengan komponen z dari vektor B.
A x B = [(2×2) – (-3x(-1)), (-1×1) – (1x(-3)), (1x(-1)) – (4×2)] = (7, -4, -9)
Jadi, hasil cross product vektor A dan B adalah (7, -4, -9).
Soal 7
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan panjang vektor A dan B.
Pembahasan
Panjang vektor A dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
|A| = √(x² + y²)
Dalam hal ini, x adalah komponen x dari vektor A dan y adalah komponen y dari vektor A.
|A| = √(4 + 9) = √13
Jadi, panjang vektor A adalah √13.
Panjang vektor B dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang sama:
|B| = √(x² + y²)
Dalam hal ini, x adalah komponen x dari vektor B dan y adalah komponen y dari vektor B.
|B| = √(4² + (-1)²) = √17
Jadi, panjang vektor B adalah √17.
Soal 8
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan sudut antara vektor A dan B.
Pembahasan
Sudut antara vektor A dan B dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
cosθ = A . B / (|A| x |B|)
Dimana A . B adalah hasil dot product antara vektor A dan B, |A| adalah panjang vektor A, dan |B| adalah panjang vektor B.
A . B = (2×4) + (3x(-1)) = 8 – 3 = 5
|A| = √(2² + 3²) = √13
|B| = √(4² + (-1)²) = √17
cosθ = 5 / (√13 x √17)
cosθ = 0.683
θ = cos⁻¹(0.683)
θ = 47.19°
Jadi, sudut antara vektor A dan B adalah sekitar 47.19°.
Soal 9
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan proyeksi vektor A pada vektor B.
Pembahasan
Proyeksi vektor A pada vektor B dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
projB A = (A . B / |B|²) x B
Dimana A . B adalah hasil dot product antara vektor A dan B, dan |B|² adalah kuadrat dari panjang vektor B.
A . B = (2×4) + (3x(-1)) = 8 – 3 = 5
|B|² = 4² + (-1)² = 17
projB A = (5 / 17) x (4, -1) = (20/17, -5/17)
Jadi, proyeksi vektor A pada vektor B adalah (20/17, -5/17).
Soal 10
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan reaksi vektor A pada vektor B.
Pembahasan
Reaksi vektor A pada vektor B dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
rejB A = A – projB A
Dimana projB A adalah proyeksi vektor A pada vektor B yang sudah dihitung pada soal sebelumnya.
projB A = (20/17, -5/17)
rejB A = A – projB A = (2, 3) –
(20/17, -5/17) = (34/17, 26/17)
Jadi, reaksi vektor A pada vektor B adalah (34/17, 26/17).
(20/17, -5/17) = (34/17, 26/17)
Jadi, reaksi vektor A pada vektor B adalah (34/17, 26/17).
Soal 11
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan vektor hasil jumlah vektor A dan B.
Pembahasan
Vektor hasil jumlah vektor A dan B dapat dihitung dengan menjumlahkan masing-masing komponen vektor A dan B.
A + B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)
Jadi, vektor hasil jumlah vektor A dan B adalah (6, 2).
Soal 12
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan vektor hasil selisih vektor A dan B.
Pembahasan
Vektor hasil selisih vektor A dan B dapat dihitung dengan mengurangkan masing-masing komponen vektor A dengan komponen vektor B.
A – B = (2-4, 3-(-1)) = (-2, 4)
Jadi, vektor hasil selisih vektor A dan B adalah (-2, 4).
Soal 13
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar 2.
Pembahasan
Vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar 2 dapat dihitung dengan mengalikan setiap komponen vektor A dengan skalar 2.
2A = 2(2, 3) = (4, 6)
Jadi, vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar 2 adalah (4, 6).
Soal 14
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar -3.
Pembahasan
Vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar -3 dapat dihitung dengan mengalikan setiap komponen vektor A dengan skalar -3.
-3A = -3(2, 3) = (-6, -9)
Jadi, vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar -3 adalah (-6, -9).
Soal 15
Diketahui vektor A = (2, 3) dan vektor B = (4, -1). Tentukan vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar 0.
Pembahasan
Vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar 0 dapat dihitung dengan mengalikan setiap komponen vektor A dengan skalar 0.
0A = 0(2, 3) = (0, 0)
Jadi, vektor hasil kali skalar vektor A dengan skalar 0 adalah (0, 0).
Berikut ini adalah 20 contoh soal UN tentang vektor matematika beserta pembahasannya:
1. Diberikan vektor a = 2i + 3j dan vektor b = i + 2j. Tentukan hasil a + b!
Pembahasan:
a + b = (2i + 3j) + (i + 2j) = 3i + 5j.
Jadi, hasil a + b adalah 3i + 5j.
2. Diberikan vektor a = 3i – 2j dan vektor b = 5i + 4j. Tentukan hasil a – b!
Pembahasan:
a – b = (3i – 2j) – (5i + 4j) = -2i – 6j.
Jadi, hasil a – b adalah -2i – 6j.
3. Diberikan vektor a = 2i + 3j dan vektor b = 4i + 6j. Tentukan hasil a . b!
Pembahasan:
a . b = (2i + 3j) . (4i + 6j) = 8 + 18 = 26.
Jadi, hasil a . b adalah 26.
4. Diberikan vektor a = 3i – 2j dan vektor b = 5i + 4j. Tentukan hasil |a + b|!
Pembahasan:
|a + b| = |(3i – 2j) + (5i + 4j)| = |8i + 2j|.
|8i + 2j| = √(8² + 2²) = √68 = 2√17.
Jadi, hasil |a + b| adalah 2√17.
5. Diberikan vektor a = 2i + j dan vektor b = i – 3j. Tentukan sudut antara a dan b!
Pembahasan:
a . b = (2i + j) . (i – 3j) = 2 – 3 = -1.
|a| = √(2² + 1²) = √5.
|b| = √(1² + (-3)²) = √10.
cos θ = (a . b) / (|a| |b|) = -1 / (√5 √10) = -√2 / 2.
θ = cos⁻¹(-√2 / 2) = 135°.
6. Diberikan vektor a = i – j dan vektor b = 2i + j. Tentukan hasil a x b!
Pembahasan:
a x b = det(|i j| ; |1 -1| ; |2 1|) = -i – 3j.
Jadi, hasil a x b adalah -i – 3j.
Kesimpulan
geometri yang dapat direpresentasikan oleh sebuah panah yang memiliki arah dan besaran. Ada beberapa operasi matematika yang dapat dilakukan pada vektor, seperti penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan perkalian skalar vektor.
Dalam artikel ini, kita telah membahas 15 contoh soal UN vektor matematika dan pembahasannya. Soal-soal tersebut mencakup berbagai operasi matematika pada vektor, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan reaksi vektor. Dengan memahami cara menyelesaikan soal-soal tersebut, diharapkan pembaca dapat meningkatkan pemahaman dan kemampuan dalam mengerjakan soal matematika terkait vektor.
FAQs
- Apa itu vektor?
- Vektor adalah besaran geometri yang dapat direpresentasikan oleh sebuah panah yang memiliki arah dan besaran.
- Apa saja operasi matematika yang dapat dilakukan pada vektor?
- Beberapa operasi matematika yang dapat dilakukan pada vektor antara lain penjumlahan vektor, pengurangan vektor, perkalian skalar vektor, dan reaksi vektor.
- Bagaimana cara menghitung penjumlahan vektor?
- Penjumlahan vektor dapat dihitung dengan menjumlahkan masing-masing komponen vektor.
- Bagaimana cara menghitung reaksi vektor?
- Reaksi vektor dapat dihitung dengan menggunakan rumus aksioma reaksi vektor.
- Apa manfaat mempelajari matematika vektor?
- Pemahaman tentang matematika vektor sangat penting dalam banyak bidang, seperti fisika, teknik, dan komputer grafis. Selain itu, kemampuan dalam matematika vektor juga dapat membantu dalam menyelesaikan berbagai masalah teknis dalam kehidupan sehari-hari.
