epanrita.net – Fungsi kubik merupakan salah satu jenis fungsi matematika yang sering digunakan dalam ekonomi. Fungsi ini memiliki bentuk persamaan yang cukup kompleks dan mengandung tiga parameter. Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal fungsi kubik matematika ekonomi serta cara penyelesaiannya.
Pendahuluan
Fungsi kubik adalah salah satu fungsi matematika yang memiliki bentuk persamaan kubik, yaitu:
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
di mana $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah konstanta yang harus ditentukan terlebih dahulu. Fungsi kubik sering digunakan dalam ekonomi karena mampu memodelkan hubungan antara dua variabel yang kompleks.
Contoh Soal 1: Regresi Fungsi Kubik
Seorang analis keuangan ingin melakukan regresi data penjualan mobil terhadap harga dan pendapatan masyarakat. Ia memilih fungsi kubik sebagai model regresi dan mendapatkan hasil sebagai berikut:
$f(x) = -0.001x^3 + 0.6x^2 – 13.2x + 150$
dengan $x$ adalah harga mobil dalam jutaan rupiah dan $f(x)$ adalah jumlah penjualan mobil per bulan. Tentukan harga optimal mobil agar jumlah penjualan maksimal.
Solusi:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari turunan pertama fungsi kubik tersebut untuk mendapatkan titik maksimum. Turunan pertama fungsi kubik adalah:
$f'(x) = -0.003x^2 + 1.2x – 13.2$
Turunan pertama ini kemudian diubah menjadi persamaan kuadrat dengan cara mencari akar-akarnya menggunakan rumus kuadrat:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
Dengan mengganti nilai $a$, $b$, dan $c$ sesuai dengan koefisien turunan pertama, kita dapatkan:
$x_{1,2} = \frac{-1.2 \pm \sqrt{1.2^2 – 4(-0.003)(-13.2)}}{2(-0.003)}$
$x_1 \approx 7.58$ dan $x_2 \approx 28.05$
Karena kita mencari harga mobil agar jumlah penjualan maksimal, maka kita hanya perlu mempertimbangkan akar positifnya, yaitu $x_2 \approx 28.05$. Oleh karena itu, harga mobil optimal adalah sekitar 28 juta rupiah.
Contoh Soal 2: Penerapan Fungsi Kubik dalam Ekonomi
Sebuah perusahaan sedang mempertimbangkan untuk memproduksi produk baru. Analis keuangan perusahaan tersebut menggunakan fungsi kubik untuk memodelkan biaya produksi berdasarkan jumlah produk yang diproduksi. Persamaan fungsi kubik yang diperoleh adalah:
$f(x) = 0.001x^3 – 0.2x^2 + 20x + 500$
Untuk menentukan jumlah produk optimal yang harus diproduksi agar biaya produksi minimal, kita harus mencari turunan pertama fungsi kubik tersebut dan mencari akar-akarnya. Turunan pertama fungsi kubik adalah:
$f'(x) = 0.003x^2 – 0.4x + 20$
Akar-akar turunan pertama dapat dicari menggunakan rumus kuadrat:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
Dengan mengganti nilai $a$, $b$, dan $c$ sesuai dengan koefisien turunan pertama, kita dapatkan:
$x_{1,2} = \frac{0.4 \pm \sqrt{0.4^2 – 4(0.003)(20)}}{2(0.003)}$
$x_1 \approx 15.21$ dan $x_2 \approx 111.11$
Karena kita mencari jumlah produk agar biaya produksi minimal, maka kita hanya perlu mempertimbangkan akar positifnya, yaitu $x_2 \approx 111.11$. Oleh karena itu, jumlah produk optimal yang harus diproduksi adalah sekitar 111 produk.
6 Contoh Soal Lainnya
- Jika fungsi kubik f(x) = 3x^3 – 6x^2 + 9x – 2 digunakan untuk menghitung profit sebuah perusahaan, tentukan nilai x yang akan memberikan profit maksimum.
Jawaban: Untuk mencari profit maksimum, kita harus mencari nilai x saat turunan fungsi f(x) sama dengan 0. Turunan fungsi f(x) adalah f'(x) = 9x^2 – 12x + 9. Dengan menyelesaikan persamaan 9x^2 – 12x + 9 = 0, kita dapatkan x = 2/3. Sehingga, nilai x yang akan memberikan profit maksimum adalah 2/3.
- Jika sebuah perusahaan menggunakan fungsi kubik f(x) = -2x^3 + 15x^2 – 36x + 20 untuk menghitung biaya produksi, berapa biaya produksi saat x = 4?
Jawaban: Untuk mencari biaya produksi saat x = 4, kita cukup substitusikan nilai x = 4 ke dalam fungsi f(x) = -2x^3 + 15x^2 – 36x + 20. Sehingga, biaya produksi saat x = 4 adalah f(4) = -2(4)^3 + 15(4)^2 – 36(4) + 20 = 36.
- Sebuah toko roti menggunakan fungsi kubik f(x) = 0.5x^3 – 2x^2 + 5x – 1 untuk menghitung pendapatannya. Tentukan pendapatan saat x = 6.
Jawaban: Untuk mencari pendapatan saat x = 6, kita cukup substitusikan nilai x = 6 ke dalam fungsi f(x) = 0.5x^3 – 2x^2 + 5x – 1. Sehingga, pendapatan saat x = 6 adalah f(6) = 0.5(6)^3 – 2(6)^2 + 5(6) – 1 = 43.
- Jika sebuah perusahaan menggunakan fungsi kubik f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1 untuk menghitung tingkat produksinya, tentukan tingkat produksi saat x = 2.
Jawaban: Untuk mencari tingkat produksi saat x = 2, kita cukup substitusikan nilai x = 2 ke dalam fungsi f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1. Sehingga, tingkat produksi saat x = 2 adalah f(2) = 4(2)^3 – 3(2)^2 + 2(2) – 1 = 31.
- Sebuah toko buku menggunakan fungsi kubik f(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x + 4 untuk menghitung total penjualannya. Tentukan total penjualan saat x = 3.
Jawaban: Untuk mencari total penjualan saat x = 3, kita cukup substitusikan nilai x = 3 ke dalam fungsi f(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x + 4. Sehingga, total penjualan saat x = 3 adalah f(3)
- Jika fungsi kubik f(x) = -0.25x^3 + 1.5x^2 + 2x – 5 digunakan untuk menghitung harga jual sebuah produk, tentukan harga jual saat x = 4.
Jawaban: Untuk mencari harga jual saat x = 4, kita cukup substitusikan nilai x = 4 ke dalam fungsi f(x) = -0.25x^3 + 1.5x^2 + 2x – 5. Sehingga, harga jual saat x = 4 adalah f(4) = -0.25(4)^3 + 1.5(4)^2 + 2(4) – 5 = 11.
Kesimpulan
Fungsi kubik merupakan salah satu jenis fungsi matematika yang sering digunakan dalam ekonomi. Fungsi ini dapat digunakan sebagai model regresi atau sebagai model untuk memodelkan biaya produksi atau pendapatan dalam sebuah perusahaan. Dalam contoh soal yang telah dijelaskan di atas, kita dapat menggunakan turunan pertama fungsi kubik untuk mencari titik maksimum atau minimum, yang kemudian dapat digunakan untuk menentukan harga atau jumlah produk optimal.
FAQ
- Apa itu fungsi kubik? Fungsi kubik adalah salah satu jenis fungsi matematika yang memiliki bentuk persamaan kubik.
- Mengapa fungsi kubik sering digunakan dalam ekonomi? Fungsi kubik sering digunakan dalam ekonomi karena mampu memodelkan hubungan antara dua variabel yang kompleks.
- Bagaimana cara menentukan harga atau jumlah produk optimal dalam sebuah perusahaan menggunakan fungsi kubik? Dalam hal ini, kita dapat menggunakan turunan pertama fungsi kubik untuk mencari titik maksimum atau minimum, yang kemudian dapat digunakan untuk menentukan harga atau jumlah produk optimal.
- Apa perbedaan antara fungsi kubik dan fungsi kuadrat? Fungsi kubik memiliki bentuk persamaan kubik, yaitu $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, sedangkan fungsi kuadrat memiliki bentuk persamaan kuadrat, yaitu $f(x) = ax^2 + bx + c$.
- Apa kegunaan dari fungsi kubik dalam ekonomi? Fungsi kubik dapat digunakan sebagai model regresi atau sebagai model untuk memodelkan biaya produksi atau pendapatan dalam sebuah perusahaan.
